Semaine des mathématiques 2018 au lycée Guy Mollet
Voici "la cascade à 3 balles" que nous allons étudier dans cette première partie.
Dans un premier temps, vous pouvez vous essayer à la jonglerie et tenter de jongler en cascade.
Pour vous aider à comprendre et à suivre le déplacement de chaque balle voici une tresse décrivant la cascade à 3 balles. la tresse correspondante:
Les lettres f, d, et e désignent :
f : le temps qu’une balle passe en l’air
d : le temps qu’une balle passe dans la main
e : le temps qu’une main reste vide
Théorème 1
Pour un jonglage régulier, où chaque main fait le même
lancer à chaque fois, avec 3 balles, le quotient suivant
est une constante.
Les lettres f, d, e sont celles utilisées sur la tresse.
Exercice 1 :
Déterminez la constante associée à ce quotient pour "la cascade à 3 balles".
Testez votre réponse :
Ce que vous venez de démontrer n'est qu'un cas particulier du théorème de Claude Shannon grand informaticien, mathématicien et passionné de jonglerie.
Voici le théorème de Shannon:
Théorème 2
Pour un jonglage régulier (i.e. chaque main fait le même
lancer à chaque fois) avec B balles, on a l’égalité de rapports suivante :
où les lettres f, d, e, et H désignent :
f : le temps qu’une balle passe en l’air
d : le temps qu’une balle passe dans la main
e : le temps qu’une main reste vide
H : le nombre de mains utilisées pour jongler
Exercice 2:
Exprimez le temps de vol f en fonction des autres variables de ce théorème
Attention pour la saisie des formules, ne pas utiliser de symbole de multiplication ! N'utilisez ni x, ni *, ni . !
Quelle relation obtenez vous?
Cette dernière relation montre que f est une fonction affine croissante du nombre de
balles B. Autrement dit, plus on veut jongler avec un nombre important de balles, plus il
faut augmenter leur temps de vol f.
Comment augmenter f ? En lançant les balles plus haut !
Nous allons maintenant déterminer la hauteur des lancers pour un jonglage régulier à B balles.
Exercice 3:
Intuitivement, il semblerait que plus il y a de balles, plus il faut les jeter haut pour jongler.
La hauteur des lancer est-elle proportionnelle au nombre de balles ou pas?
On se propose de trouver une relation entre h et B, pour répondre à cette question.
Étant uniquement soumis à l’accélération de la pesanteur g (environ 10 ms -2 sur Terre),
la loi de la chute des corps nous dit que chaque balle met un temps t pour tomber d’une
hauteur h, liés par la relation :
Sachant qu'une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h (en m) que pour revenir à la hauteur initiale, en déduire une relation entre f et t.
Inscrivez la relation ici :
En fixant les valeurs de e et de d à 0.25s, dans le théorème de Shannon et en prenant g=10ms -2, exprimez h en fonction de B, pour un jonglage à 2 mains.
Complétez l'égalité h=(B-1)²
On a donc
La hauteur est-elle proportionnelle aux nombre de balles?
En déduire la hauteur nécessaire pour la cascade à 3 balles.
m
En déduire la hauteur nécessaire pour la cascade à 9 balles.
m
Voici le nuage de points permettant d'estimer la hauteur des lancers avec e et d à 0.25s en fonction du nombre de balles.
Il est naturellement possible de modifier ces hauteurs en jouant sur la rapidité des mouvements, c'est à dire en changeant les valeurs de e et de d.
Voici un siteswap de la cascade à 3 balles
Voici une petite animation qui vous aidera à comprendre la représentation du siteswap.
Voici le principe, on reprend le schéma de la tresse, où on représente le temps qui s’écoule vers le bas, les points de part et d’autres
représentent les mains qui vont lancer les balles alternativement à un rythme régulier, schématisé par le point rouge sur cette animation.
L’intervalle de temps entre deux mouvements de main, donc entre deux positions du point rouge est pris comme unité de tempo. Cela représente un temps.
A partir de là on peut définir les différents lancers par le nombre de temps qu’il faudra à la balle pour retomber.
Score :
Vous avez la théorie, pour jongler, il "suffit" maintenant de vous exercer!
Ce site est inspiré du travail de Vincent Pantaloni disponible ici
la tresse correspondante: 
est une constante.
Sachant qu'une balle met autant de temps pour monter à la hauteur h (en m) que pour revenir à la hauteur initiale, en déduire une relation entre f et t.
où les lettres f, d, e, et H désignent :
montre que f est une fonction affine croissante du nombre de
balles B. 